高二數(shù)學：分層抽樣
【教學目標】
1.通過實例知道分層抽樣的概念,意義及分層抽樣適用的情景.
2.通過對現(xiàn)實生活中實際問題會用分層抽樣的方法從總體中抽出樣本,并能寫出具體問題的分層抽樣的步驟.
3.知道分層抽樣過程中總體中的各個個體被抽取的機會相等.
4.區(qū)分簡單隨機抽樣､系統(tǒng)抽樣和分層抽樣,并選擇適當正確的方法進行抽樣.
【教學重難點】
教學重點: 正確理解分層抽樣的定義,靈活應(yīng)用分層抽樣抽取樣本,并恰當?shù)倪x擇三種抽樣方法解決現(xiàn)實生活中的抽樣問題.
教學難點:應(yīng)用分層抽樣解決實際問題, 并恰當?shù)倪x擇三種抽樣方法解決現(xiàn)實生活中的
抽樣問題.
【教學過程】
一. 復習回顧.
系統(tǒng)抽樣有什么優(yōu)缺點?它的一般步驟是什么?網(wǎng)
答:優(yōu)點是比簡單隨機抽樣更易操,缺點是系統(tǒng)抽樣有規(guī)律性,樣本有可能代表性很差;
(1)將總體的N個個體編號
(2)確定分段間隔k,對編號進行分段,當 (n是樣本容量)是整數(shù),取k= ; 不是整數(shù)時,先從總體中隨機的剔除幾個個體,使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本
容量整除.
(3)在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號L(L≤k)
(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本,通常是將起始編號L加上間隔k得到第2個個體編號L+k,
再加上k得到第3個個體編號L+2k,這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個樣本.
二.創(chuàng)設(shè)情境.
假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人,小學生11000人,此地教育部門為了了解本地區(qū)中小學的近視情況及其形成原因,要從本地區(qū)的中小學生中抽取1%的學生進行調(diào)查,你認為應(yīng)當怎樣抽取樣本?
答: 高中生2400×1%=24人,初中生10900×1%=109人,小學生11000×1%=110人,作為樣本.這樣,如果從學生人數(shù)這個角度來看,按照這種抽樣方法所獲得樣本結(jié)構(gòu)與這一地區(qū)全體中小學生的結(jié)構(gòu)是基本相同的.
三.探究新知.
(一)分層抽樣的定義.
一般地,在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣的方法叫分層抽樣｡
【說明】分層抽樣又稱類型抽樣,應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求:
(1)分層:將相似的個體歸人一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復､不遺漏的原則｡
(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等,即保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致性｡
(二)分層抽樣的步驟:
(1)分層:按某種特征將總體分成若干部分｡
(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)｡
(3)各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取｡
(4)綜合每層抽樣,組成樣本｡
【說明】
(1)分層需遵循不重復､不遺漏的原則｡
(2)抽取比例由每層個體占總體的比例確定｡
(3)各層抽樣按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行｡
探究交流
(1)分層抽樣又稱類型抽樣,即將相似的個體歸入一類(層),然后每層抽取若干個體構(gòu)成樣本,所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,必須進行 ( )
A､每層等可能抽樣
B､每層不等可能抽樣
C､所有層按同一抽樣比等可能抽樣
(2)如果采用分層抽樣,從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為n
樣本,那么每個個體被抽到的可能性為 ( )
A. B. C. D.
點撥:
(1)保證每個個體等可能入樣是簡單隨機抽樣､系統(tǒng)抽樣､分層抽樣共同的特征,為了保證這一點,分層時用同一抽樣比是必不可少的,故此選C｡
(2)根據(jù)每個個體都等可能入樣,所以其可能性本容量與總體容量比,故此題選C｡
(三)､ 簡單隨機抽樣､系統(tǒng)抽樣､分層抽樣的比較
網(wǎng)
類 別 共同點 各自特點 聯(lián) 系 適用范圍
簡單隨機抽樣 (1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等
(2)每次抽出個體后不再將它放回,即不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體個數(shù)較少
系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部 分,按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分樣時采用簡隨機抽樣 總體個數(shù)較多
分層抽樣 將總體分成幾層,分層進行抽取 分層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
【例題精析】
例1某高中共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為
A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因為300：200：400=3：2：4，于是將45分成3：2：4的三部分。設(shè)三部分各抽取的個體數(shù)分別為3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為15，10，20，故選D。
例2:一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn),人口3萬人,其中人口比例為3:2:5:2:3,從3萬人中抽取一個300人的樣本,分析某種疾病的發(fā)病率,已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān),問應(yīng)采取什么樣的方法?并寫出具體過程｡
[分析]采用分層抽樣的方法｡
解:因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系,所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯,因而采用分層抽樣的方法,具體過程如下:
(1)將3萬人分為5層,其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層｡
(2)按照樣本容量的比例隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本｡
300×3/15=60(人),300×2/15=100(人),300×2/15=40(人),300×2/15=60(人),
因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人､40人､100人､40人､60 人｡
(3)將300人組到一起,即得到一個樣本｡
【說明】若整除不盡采用四舍五入計算.
練一練:
一支田徑隊有男運動員56人,女運動員42人,用分層抽樣的方法從運動員中抽出一個容量為28的樣本｡
解析:男:女=4:3,由 ,男生抽取4×4=16(人),女生抽取4×3=12(人)｡
【課堂小結(jié)】
1、分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進行分層抽樣時應(yīng)注意以下幾點：
(1)、分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異
要小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。
(2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。
(3)在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣
2、分層抽樣的優(yōu)點是：使樣本具有較強的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實用、操作性強、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。
一. 復習回顧.
系統(tǒng)抽樣有什么優(yōu)缺點?它的一般步驟是什么?網(wǎng)
答:優(yōu)點是比簡單隨機抽樣更易操,缺點是系統(tǒng)抽樣有規(guī)律性,樣本有可能代表性很差;
(1)將總體的N個個體編號
(2)確定分段間隔k,對編號進行分段,當 (n是樣本容量)是整數(shù),取k= ; 不是整數(shù)時,先從總體中隨機的剔除幾個個體,使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本
容量整除.
(3)在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號L(L≤k)
(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本,通常是將起始編號L加上間隔k得到第2個個體編號L+k,
再加上k得到第3個個體編號L+2k,這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個樣本.
二.創(chuàng)設(shè)情境.
假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人,小學生11000人,此地教育部門為了了解本地區(qū)中小學的近視情況及其形成原因,要從本地區(qū)的中小學生中抽取1%的學生進行調(diào)查,你認為應(yīng)當怎樣抽取樣本?
答: 高中生2400×1%=24人,初中生10900×1%=109人,小學生11000×1%=110人,作為樣本.這樣,如果從學生人數(shù)這個角度來看,按照這種抽樣方法所獲得樣本結(jié)構(gòu)與這一地區(qū)全體中小學生的結(jié)構(gòu)是基本相同的.
三.探究新知.
(一)分層抽樣的定義.
一般地,在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣的方法叫分層抽樣｡
【說明】分層抽樣又稱類型抽樣,應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求:
(1)分層:將相似的個體歸人一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復､不遺漏的原則｡
(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等,即保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致性｡
(二)分層抽樣的步驟:
(1)分層:按某種特征將總體分成若干部分｡
(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)｡
(3)各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取｡
(4)綜合每層抽樣,組成樣本｡
【說明】
(1)分層需遵循不重復､不遺漏的原則｡
(2)抽取比例由每層個體占總體的比例確定｡
(3)各層抽樣按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行｡
探究交流
(1)分層抽樣又稱類型抽樣,即將相似的個體歸入一類(層),然后每層抽取若干個體構(gòu)成樣本,所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,必須進行 ( )
A､每層等可能抽樣
B､每層不等可能抽樣
C､所有層按同一抽樣比等可能抽樣
(2)如果采用分層抽樣,從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為n
樣本,那么每個個體被抽到的可能性為 ( )
A. B. C. D.
點撥:
(1)保證每個個體等可能入樣是簡單隨機抽樣､系統(tǒng)抽樣､分層抽樣共同的特征,為了保證這一點,分層時用同一抽樣比是必不可少的,故此選C｡
(2)根據(jù)每個個體都等可能入樣,所以其可能性本容量與總體容量比,故此題選C｡
(三)､ 簡單隨機抽樣､系統(tǒng)抽樣､分層抽樣的比較
網(wǎng)
類 別 共同點 各自特點 聯(lián) 系 適用范圍
簡單隨機抽樣 (1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等
(2)每次抽出個體后不再將它放回,即不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體個數(shù)較少
系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部 分,按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分樣時采用簡隨機抽樣 總體個數(shù)較多
分層抽樣 將總體分成幾層,分層進行抽取 分層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
【例題精析】
例1某高中共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為
A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因為300：200：400=3：2：4，于是將45分成3：2：4的三部分。設(shè)三部分各抽取的個體數(shù)分別為3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為15，10，20，故選D。
例2:一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn),人口3萬人,其中人口比例為3:2:5:2:3,從3萬人中抽取一個300人的樣本,分析某種疾病的發(fā)病率,已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān),問應(yīng)采取什么樣的方法?并寫出具體過程｡
[分析]采用分層抽樣的方法｡
解:因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系,所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯,因而采用分層抽樣的方法,具體過程如下:
(1)將3萬人分為5層,其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層｡
(2)按照樣本容量的比例隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本｡
300×3/15=60(人),300×2/15=100(人),300×2/15=40(人),300×2/15=60(人),
因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人､40人､100人､40人､60 人｡
(3)將300人組到一起,即得到一個樣本｡
【說明】若整除不盡采用四舍五入計算.
練一練:
一支田徑隊有男運動員56人,女運動員42人,用分層抽樣的方法從運動員中抽出一個容量為28的樣本｡
解析:男:女=4:3,由 ,男生抽取4×4=16(人),女生抽取4×3=12(人)｡
【課堂小結(jié)】
1、分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進行分層抽樣時應(yīng)注意以下幾點：
(1)、分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異
要小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。
(2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。
(3)在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣
2、分層抽樣的優(yōu)點是：使樣本具有較強的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實用、操作性強、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。
(責任編輯：彭海芝)
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