數(shù)學(xué)棱錐的外接球，這樣處理最為簡單！

2016-11-17 09:59:09 來源：學(xué)習(xí)方法網(wǎng)

　　小數(shù)老師說

　　也可能是小數(shù)老師研究北京的題目太多了，最近幾年沒有看到這種問題，不過既然在微信平臺上有同學(xué)提問了，那小數(shù)老師就幫這個(gè)同學(xué)整理一下吧!小數(shù)老師研究了一下，全國卷考這種題目還是比較多的，但是現(xiàn)在的難度也比小數(shù)老師上學(xué)時(shí)的簡單了很多了!

　　找了最近的一些題目看了看，棱錐的外接球問題一般分為兩類：已知棱錐的相關(guān)條件，求外接球的表面積或者體積等;已知棱錐的外接球的一些條件，求棱錐的相關(guān)信息!下面通過兩道例題來看一下，這種題目該如何求解!

　　1、已知棱錐，求外接圓

　　例1、已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積是

　　，則球O的表面積是()

　　A、4πB、8πC、12πD、16π

　　解析：本題已知三棱錐的體積與底面邊長，求球O的表面積，其實(shí)說白了，就是需要找到外接球的半徑，再利用公式就能得出結(jié)果了。所以，第一步就是畫圖，

　　通過題目我們可以知道，此三棱錐的底面為等邊三角形，那么就可以知道，如果過點(diǎn)P向底面做垂線的話，垂足一定落在三角形ABC的邊BC的高上，也就是圖中的CD上，由于PC是外接球的直徑，因此取中點(diǎn)O，然后找到三角形ABC的外接圓的圓心C’，O’也在CD上，所以能得到OO’垂直于CD，所以O(shè)O’與PD平行，且OO’等于PD的一半，PD是三棱錐的高，根據(jù)三棱錐的體積就能求出高來，因此OO’的值也能求出來，而三角形OO’C是直角三角形，O’C是三角形ABC高的三分之二，因此列出方程，球的半徑就能求了。

　　具體解題步驟同學(xué)們自己補(bǔ)全吧!

　　答案選擇：A

　　例2、已知正四面體ABCD的棱長為a，其外接球表面積為S1，內(nèi)切球表面積為S2，則S1：S2的值為()

　　A、3B、

　　C、9D、

　　解析：正四面體為載體，同學(xué)們真是沾大光了哈，棱長與底邊都相等，其性質(zhì)也特別好，外接球的球心與內(nèi)切球的球心是一個(gè)，都在正四面體的高上，接下來畫圖找?guī)缀涡再|(zhì)即可。

　　如圖：點(diǎn)O是正四面體外接球與內(nèi)切球的球心，并且BO為外接球的半徑，OE為內(nèi)切球的半徑，三角形BOE為直角三角形，E點(diǎn)為三角形BCD的邊CD上的高BF上的點(diǎn)，并且BE:EF=2：1，所以，根據(jù)這些條件進(jìn)行列方程即可求出比值來。

　　答案選擇：C

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　　2、已知外接圓，求棱錐

　　例3、已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2，AC=，∠BAC=，則棱PA的長為()

　　A、

　　B、

　　C、3 D、9

　　解析：通過題意，可以得出三棱錐為墻角型的，如圖：

　　對于墻角型三棱錐，尋找外接球一般采取補(bǔ)形法，也就是以AB,AC,PA為邊做出長方體來，長方體的外接球與此三棱錐的外接球相同，而對于長方體來說，其外接球的直徑為長方體的體對角線，體對角線l與長方體的長a寬b高c的關(guān)系是：

　　，通過此關(guān)系，列方程即可得到結(jié)果。

　　答案選擇：C。

　　以上就是小數(shù)老師給大家的三個(gè)例題，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，不管是哪種類型，重點(diǎn)是要找到球心，也就是要把三棱錐的幾何性質(zhì)搞清楚，同學(xué)們也不用擔(dān)心，現(xiàn)在考試題目都不是很難，大家重點(diǎn)研究正三棱錐，正四面體，和墻角型的三棱錐就足以應(yīng)對了!加油吧!

　　有什么想看的，歡迎大家發(fā)信息哈，小數(shù)老師精力有限，可能總結(jié)的不是那么全面，但是小數(shù)老師一定以高考題為參考題型來分析每個(gè)知識點(diǎn)的哈!

　　(責(zé)任編輯：郭峰)