高考數(shù)學(xué)第二輪備考典型題型的解法
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)是整理與提升的過程，下面是精品學(xué)習(xí)網(wǎng)整理的數(shù)學(xué)第二輪備考典型題型的解法，希望考生可以全部掌握。
(一)數(shù)形結(jié)合，借尸還魂
【題1】(2009.遼寧卷12題)若 滿足2x+ =5, 滿足2x+2 (x-1)=5, + =( )
(A) (B)3 (C) (D)4
【分析】本題有“數(shù)”無“形”，僅靠枯燥的數(shù)字分析或推理，試圖分別求出x1與x2，再求它們的和是不可能的..唯一的出路是“借尸還魂”，到圖中去尋找答案.
【解析】.將條件式改寫為 及 .
令 .
如圖，曲線 關(guān)于直線 對稱.設(shè)直線 分別與曲線
及直線 交于 ，則點(diǎn)A,B亦關(guān)于
點(diǎn)M對稱..由 ，故選C.
(二)調(diào)虎離山 命題轉(zhuǎn)換
【題2】(2010.四月.湖北孝感理科.14題)在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色.先染1，再染2個(gè)偶數(shù)2、4;再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9;再染9后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16;再染16后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2010個(gè)數(shù)是
【分析】按題示規(guī)則,對全體正整數(shù)操作如下：
○1○23○4○56○78○9○1011○1213○1415○16○1718○1920○2122○2324○25○2627○2829○3031○3233○3435○36○3738…
如果僅就現(xiàn)在的排列方法,很難找出規(guī)律.于是想到:何不將那些“染紅”了的數(shù)調(diào)出來,用適當(dāng)?shù)姆绞街匦屡帕心?
【解析】在以上各數(shù)中，我們將所有打了圈的數(shù)稱為“合格數(shù)”，
并將所有“合格數(shù)”按奇,偶相間的原則列成三角形數(shù)表如圖2：立即
發(fā)現(xiàn)其排列規(guī)律是：
1.第n行的最后1個(gè)數(shù)字是 ;
2.前n行共有 個(gè)“合格數(shù)”數(shù).
題目已經(jīng)暗示：2010一定是“合格數(shù)”,設(shè)2010位于這張表的
第n行,那么： ,即
∵ ,故滿足(1)式的
最大值是63. 當(dāng)n=63時(shí),最后1個(gè)數(shù)是第 個(gè),其值為 ,這是個(gè)奇數(shù).
據(jù)此,這一行應(yīng)全為奇數(shù).由此倒推6數(shù),則第2010個(gè)“合格數(shù)”是3969-2×6=3957.
(三)抽絲剝繭,水落石出
【題3】(2010四月.湖北黃岡等6市.10題)已知數(shù)列 滿足：
且 ,則圖3中第5行所有數(shù)的和是( )
A.62 B.64 C.32 D.34
【分析】求和的前提條件是找出這個(gè)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式.可是由
遞推關(guān)系找到求通項(xiàng)的規(guī)律,不是輕而易舉的事,需要作逐步精密的探究.
如果不作,這道題很難.
【解析】第一步：遞推關(guān)系式的右式,分子的次數(shù)高于分母的次數(shù),
且分子為單項(xiàng)式,分母為多項(xiàng)式,不便于推理運(yùn)算,因此考慮岸邊取倒數(shù).
由
第二步,由以上結(jié)果及 ,知 是首項(xiàng) 且公差d=1的等差數(shù)列.這個(gè)“過渡數(shù)列”的通項(xiàng)公式是： .
第三步,我們發(fā)現(xiàn) 雖然不是等比數(shù)列,但其比值是一個(gè)簡單的一次式.這種情況適合“疊乘法”求通項(xiàng)：
已知 ∴這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (n=1也適合)
于是“水落石出”,圖5中第5行所有數(shù)的和是：
故選A.
(四)瞞天過海 暗云飛渡
【題4】(武漢二月調(diào)考.15題)已知雙曲線 的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F,設(shè)P為第一象限內(nèi)曲線上的任意一點(diǎn)，若∠PFA=λ∠FAP,則λ的值為
【分析】無論是選擇題,還是填空題,都是無需講道理的.既如此,解題人就可以省去一切繁文縟節(jié),“不擇手段”地去找出正確的答案.顯然,本題的答案與非零實(shí)數(shù)a的取值范圍無關(guān),我們就可以挑選一個(gè)最便于計(jì)算的特殊位置解之.
【解析】如圖4，取圖形的特殊位置,使PF⊥AF.
由條件知有A(-a,0),F(2a,0).在雙曲線方程中令x=2a,有：
.得P(2a,3a).
在直角三角形AFP中， ∴∠PAF=45°，而
∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.
【說明】(1)原題沒有對點(diǎn)P在第一象限曲線上的位置
有所限制，這意味著λ的取值與點(diǎn)P的具體位置無關(guān)，也就是
λ是一個(gè)常數(shù).這就是本題可以取特殊位值的根本原因.
(2)本題源于如下軌跡題：已知定點(diǎn)A(-a,0),F(2a,0).
一動點(diǎn)p(x,y)滿足∠PFA=2∠PAF,求點(diǎn)P的軌跡.
【解析】如圖4——2，設(shè)∠PAF=α，則∠PFA=2α.
.由正切的二倍角公式：
所求軌跡為雙曲線的右支(不含右頂點(diǎn)).
(五)他山之石 可以攻玉
【題5】(2010.武漢二月調(diào)考.10題). 過定點(diǎn)P(3,1)的直線 交x軸正半軸于A, 交y軸正半軸于B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB周長的最小值為( )
A.8 B.10 C.12 D.
【分析1】本題是名副其實(shí)的“不小的小題”，不能用特殊值法解決，從形式上看，由于題中有坐標(biāo)系為背景，是一道解析法求最值的問題.但是若真用解析幾何的方法去做，卻何其難也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，卻是“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”
【解析1】如圖1，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，則ON=2,ON=1.
設(shè)∠OAB=∠NPB=α，則NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.
于是△OAB的周長
于是 ，故選B.
【說明】進(jìn)一步研究：當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等式成立.此時(shí) .于是 ，滿足OA+AB+OB=10.
【分析2】在華中師大數(shù)學(xué)通訊網(wǎng)站上，一位朋友利用幾何思想給出了本題的絕妙解法，現(xiàn)介紹如下：
【解析2】首先證明：直角三角形的周長等于其斜邊上旁切圓的直徑.
如圖2，設(shè)直角△OAB斜邊上旁切圓的圓心為Q(a,a)
作QH⊥AB于H, QM⊥x軸于M，QN⊥y軸于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.
連PQ,則 .令 即
(舍)，或 .于是所求△OAB的最小值為L=2a=10.
本題還可以用導(dǎo)數(shù)法求解,這里從略.
(六)避實(shí)擊虛 反客為主
【題6】(2007.北京海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)期中試題8)：已知函數(shù)
.若實(shí)數(shù) 使得 有實(shí)根，則 的最小值為( )
(A) (B) (C)1 (D)2
【分析題目給定的是關(guān)于變量x的分式方程,就提論題地去做,無異于打一場耗時(shí)費(fèi)力的攻堅(jiān)戰(zhàn),希望渺茫.但若將方程中的輔助變量a,b“反客為主”,則在我們面前很快展現(xiàn)出一方可以自由馳騁的新天地.
【解解析】將 改寫為： .
令
在直角坐標(biāo)系aOb中，設(shè) 為直線(1)上一點(diǎn)，則 .
又設(shè)原點(diǎn)到直線(1)的距離為 ，那么
再令 上增，故
.也就是 的最小值為 ，選(A)
(七)擒賊擒王 解題尋根
【題7】(2005.湖北卷.6題)：在 這四個(gè)函數(shù)中，
當(dāng) 恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
A，0 B，1 C，2 D，3
【分析】雖然是一道小題，可就是這一道不起眼的小題，那一屆卻難倒了一大批考生.即使是考后，有些教師為了解這道題也費(fèi)了九牛二虎之力.為什么因?yàn)轭}中的四個(gè)函數(shù)，如果逐一探究，哪都不是省油的燈.為此人們不得不反思：擒賊擒王，解題尋根.這道題的根究竟在哪里呢?
原來除直線函數(shù)外，無論什么函數(shù)的圖像都是曲線，而曲線只有“上凸”和“下凹”兩種簡單形式，這就是本題的“根”.
【解析】解本題應(yīng)先掌握凸，凹函數(shù)的性質(zhì)，
如圖6—1，曲線 在弦AB的上方，我們
稱它是上凸的函 數(shù)，在曲線上任取兩點(diǎn)
A，B，作
有
交 于C，AB于M，
那么
，如圖 6—2，曲線 在弦AB的下方，我們稱它是下凹的函 數(shù)，同理，由 ，又說明下凹函數(shù)有性質(zhì)：
以上結(jié)論與曲線所在象限無關(guān)，這是因?yàn)榍�經(jīng)過平移后，不影響它們的數(shù)量關(guān)系.
題中的四個(gè)函數(shù)， 所以在(0，1)內(nèi)，式子 不是恒成立。又 是下凹的，只有 是上凸的，這就是說，在(0，1)內(nèi)，使式子
恒成立的函數(shù)只有一個(gè)。∴選B。(參看圖7，1—4)
。
后記：無獨(dú)有偶，今年的北京卷也有類似的試題：對于函數(shù) ，有如下結(jié)論：① ② ③ ④
當(dāng) 時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是本題的正確答案是②③，它與湖北卷第6題有異曲同工之妙. ，
(八)惜墨如金 小題小作
【題8】(2005.全國2卷.12題)將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四
面體的高的最小值為( )
A B C D
【說明】對于這一題，筆者從某參考資料上看到的答案十分繁雜，原文如下：
【解析】正四面體的高最小時(shí)，即四個(gè)小鋼球與正四面體的各個(gè)面相切。首先求出一個(gè)小球的球心O1到
另三個(gè)小球球心所在平面O2O3O4的距離(如圖7--1)。
O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= ∴OO1=
然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面體的頂點(diǎn)A的距離AO1，(如圖7--2)
設(shè)AB=x 則BO，= ∴O’A= ∴O1A= -1=O1B
∵AO，⊥O，B ∴O1B2=O，O12+O，B2 ∴( -1)2=12+
∵ - +1=1+ ∴ - =0 ∵x≠O ∴x=
∴O，A= × =4 ∴O1A=3
由題意可知三個(gè)球面到正四面體底面的距離為1 ，∴正四面體的高
的最小值為 3+1+ =4+
以上是正文。原文還有點(diǎn)評，這里從略。
就本題而言，以上的解法確實(shí)太繁了.在高考的有限時(shí)間里，花這么
大的代價(jià)是不值的.以下提出兩種簡略些的方法.
【解1】為求正四面體的高的最小值，只須解決三個(gè)問題：
其一，這4個(gè)鋼球兩兩外切，其球心也連成一個(gè)正四面體，因?yàn)槠淅忾L為2，所以它的高為2• = ;
其二，這個(gè)球心四面體與原正四面體的兩底面距離為1(等于球的半徑);
其三，這個(gè)球心四面體與原正四面體的兩頂距離為3(等于球的半徑的3倍)，因此 ，這個(gè)正四面體的高
的最小值為 ，∴選C。
【解2】我們不妨稱原四面體為 “容器正四面體”,四個(gè)球心連成的四面體為“球心正四面體”.
“球心正四面體”與“容器正四面體”是同“中心”的相似體，相似中心就是這個(gè)共同的“中心”.
既然這個(gè)公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面體的高線，那么，還是這個(gè)公共的中心應(yīng)以1∶3
的比例分割容器正四面體的高線.既然球心正四面體的高線向下面的底面延長了1個(gè)小球半徑，那么，對應(yīng)
的高線應(yīng)該向上面的頂點(diǎn)延長3個(gè)小球半徑.于是容器正四面體的高線比球心正四面體的高線共延長出4個(gè)
小球半徑.因而?C 是最合理的答案.
以上就是高中階段一些2017高考數(shù)學(xué)第二輪備考典型題型的解法，幫助考生進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。
(責(zé)任編輯：郭峰)
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