高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：基本不等式訓(xùn)練題
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1.若xy>0，則對xy+yx說法正確的是()
A.有最大值-2B.有最小值2
C.無最大值和最小值D.無法確定
答案：B
2.設(shè)x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數(shù)，則xy的最大值是()
A.400B.100
C.40D.20
答案：A
3.已知x≥2，則當(dāng)x=____時(shí)，x+4x有最小值____.
答案：24
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)當(dāng)x>0時(shí)，求f(x)的最小值;
(2)當(dāng)x<0時(shí)，求f(x)的最大值.
解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.
∴12x+4x≥212x?4x=83.
當(dāng)且僅當(dāng)12x=4x，即x=3時(shí)取最小值83，
∴當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的最小值為83.
(2)∵x<0，∴-x>0.
則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，
當(dāng)且僅當(dāng)12-x=-4x時(shí)，即x=-3時(shí)取等號(hào).
∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的最大值為-83.
一、選擇題
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12xB.x2-1+1x2-1
C.2x+2-xD.x(1-x)
答案：C
2.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3B.-3
C.62D.62-3
解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R，mn=100，則m2+n2的最小值是()
A.200B.100
C.50D.20
解析：選A.m2+n2≥2mn=200，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立.
4.給出下面四個(gè)推導(dǎo)過程：
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;
�、凇選，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;
�、邸遖∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;
�、堋選，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2?-xy??-yx?=-2.
其中正確的推導(dǎo)過程為()
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.
�、佟遖，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導(dǎo)過程正確;
�、陔m然x，y∈(0，+∞)，但當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lgx是負(fù)數(shù)，y∈(0,1)時(shí)，lgy是負(fù)數(shù)，∴②的推導(dǎo)過程是錯(cuò)誤的;
�、邸遖∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a+a≥24a?a=4是錯(cuò)誤的;
�、苡蓌y<0得xy，yx均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將全體xy+yx提出負(fù)號(hào)后，(-xy)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確.
5.已知a>0，b>0，則1a+1b+2ab的最小值是()
A.2B.22
C.4D.5
解析：選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=bab=1時(shí)，等號(hào)成立，即a=b=1時(shí)，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均為正數(shù)，xy=8x+2y，則xy有()
A.最大值64B.最大值164
C.最小值64D.最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數(shù)，
∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，
當(dāng)且僅當(dāng)8x=2y時(shí)等號(hào)成立.
∴xy≥64.
二、填空題
7.函數(shù)y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.
解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大116
9.(2010年高考山東卷)已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)x3=y4時(shí)取等號(hào).
答案：3
三、解答題
10.(1)設(shè)x>-1，求函數(shù)y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函數(shù)y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2?x+1??4x+1+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1，即x=1時(shí)，取等號(hào).
∴x=1時(shí)，函數(shù)的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=9x-1，即x=4時(shí)等號(hào)成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三個(gè)不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁忽略不計(jì)).
問：污水處理池的長設(shè)計(jì)為多少米時(shí)可使總價(jià)最低.
解：設(shè)污水處理池的長為x米，則寬為200x米.
總造價(jià)f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x?225x+12000
=36000(元)
當(dāng)且僅當(dāng)x=225x(x>0)，
即x=15時(shí)等號(hào)成立.
(責(zé)任編輯：郭峰)
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