數(shù)學(xué)思想在計(jì)數(shù)與概率中應(yīng)用

北師大天津附中 潘長虹

計(jì)數(shù)與概率問題在近幾年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答題的形式出現(xiàn)。在復(fù)習(xí)過程中，由于知識抽象性強(qiáng)，學(xué)習(xí)中要注重基礎(chǔ)知識和基本方法，不可過深，過難。復(fù)習(xí)時(shí)可從最基本的公式，定理，題型入手，恰當(dāng)選取典型例題，構(gòu)建思維模式，造成思維依托和思維的合理定勢。

另外，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，這部分所涉及的數(shù)學(xué)思想主要有：分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想，在概率和概率與統(tǒng)計(jì)中又體現(xiàn)了概率思想、統(tǒng)計(jì)思想、數(shù)學(xué)建模的思想等。在復(fù)習(xí)中應(yīng)有意識用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題，不可就題論題，將問題孤立，片面強(qiáng)調(diào)單一知識和題型。

能力方面主要考查：運(yùn)算能力、邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題和解決實(shí)際問題的能力。在高考中本部分以考查實(shí)際問題為主，解決它不能機(jī)械地套用模式，而要認(rèn)真分析，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識加以解決。

例1. 一次擲兩顆骰子，求點(diǎn)數(shù)和恰為8這一事件A的概率。

分析：這實(shí)際上是一個(gè)等可能事件的概率。擲兩個(gè)骰子出現(xiàn)的基本結(jié)果如下表：

解：表中基本結(jié)果36個(gè)，而點(diǎn)數(shù)為8的有5個(gè)，故：P(A)=-

評述：本題可歸結(jié)為擲骰子問題，通過對擲骰子情況的研究得出各種概率數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想：

(1)、投擲一顆均勻的骰子，研究出現(xiàn)各種點(diǎn)的情況，這是等可能事件的概率，各點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1/6。

(2)、同時(shí)投擲兩顆均勻的骰子，研究出現(xiàn)各種點(diǎn)的情況，可列一表格或用坐標(biāo)系表示。

(3)、同時(shí)投擲n顆均勻的骰子，研究出現(xiàn)各種點(diǎn)的情況，可看作n次獨(dú)立事件的概率。

例2.同時(shí)擲四枚均勻硬幣，求：

(1)恰有兩枚正面朝上的概率；

(2)至少有兩枚正面朝上的概率。

分析：因同時(shí)拋擲四枚硬幣，可認(rèn)為四次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

解： (1)問中可看作“4次重復(fù)試驗(yàn)中，恰有2次發(fā)生”的概率：

∴P4(2)=C42(-)2·(1--)2=-=-

(2)問中，可考慮對立事件“至多有一枚正面朝上”

故P=1-P4(0)-P4(1)=1-C40(-)0(1--)4-C41(-)1(1--)3=-

評述：研究各種擲硬幣的情況，抽象出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，再利用概率知識解決，這就是數(shù)學(xué)建模的過程。這一問題可推廣到n枚均勻硬幣同時(shí)投擲的情況。

　　(責(zé)任編輯：王曉冬)

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