因?yàn)楹芟矚g學(xué)數(shù)學(xué)，所以大一大二學(xué)數(shù)學(xué)還是比較用功的，不過學(xué)的程度當(dāng)然不高了，很久沒有接觸數(shù)學(xué)，難免生疏不少，盡管有興趣但是剛復(fù)習(xí)難度真不小，尤其是下冊(cè)，其實(shí)有一份對(duì)數(shù)學(xué)興趣還是很不錯(cuò)了，至少你很樂意去學(xué)習(xí)。

　　從暑假之前書本基本大致看完了，不算太早，當(dāng)然，比較初就是看課本了，那時(shí)候什么也不懂，就是看書，看定義，做課后練習(xí)題，我同學(xué)和我都是按同樣的步驟，我復(fù)習(xí)時(shí)有個(gè)特點(diǎn)，就是不太樂意對(duì)答案，一方面是沒有答案在手，不愿意買，也懶得對(duì)，另一方面是莫名奇妙的自信，總覺得自己寫的都是對(duì)的，當(dāng)然不會(huì)的題目還是想辦法參考一下的。不過我建議大家比較好找到答案，看過程，看精確度，等到復(fù)習(xí)比較后才發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不會(huì)的真不多，而錯(cuò)誤的原因很大程度上在于準(zhǔn)確度不高，粗心等毛病，所以準(zhǔn)確度和細(xì)心是整個(gè)復(fù)習(xí)過程中貫徹始終的，無(wú)論是剛開始還是復(fù)習(xí)的比較后，這點(diǎn)我深有感悟，你會(huì)再多，算錯(cuò)了，抄錯(cuò)了，比較后和你不會(huì)結(jié)果是一樣的，所以，千萬(wàn)要有耐心，你差的不是時(shí)間，而是克服你的惰性，不要眼高手低，養(yǎng)成勤于動(dòng)手的習(xí)慣，久而久之，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的用處的。

　　其實(shí)第一次看書，可能覺得很難，也算是比較新的東西了，不過不用害怕，這是第一次你要克服的東西，需要掌握的東西一定想法弄懂(順便說下，其實(shí)我用大綱解析的唯一目的是確定考試范圍，至于什么要掌握，什么要理解我沒有在意，畢竟剛開始都是一視同仁的，剛開始不用區(qū)分的太開，第一次是要盡量去理解的，而至于什么掌握啊，到后來(lái)你買些復(fù)習(xí)資料，做些題目，哪塊特別重要，你會(huì)明白的)，盡量不要把它撇開，不過之前你也可以大概過一下定義，知道你要面對(duì)的是什么，然后再開始第一輪復(fù)習(xí)。

　　看定義，看定理，看什么?要看定義使用的前提，使用的條件，這樣你看完后以后碰到題很容易明白它要考察的是哪塊內(nèi)容，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)比較高境界就是看到題目，你知道出題人考察的是哪塊內(nèi)容，他設(shè)置了怎樣的陷阱，你怎樣去避開它，看出出題人的心思，這與清楚明白定義是分不開的，所謂打基礎(chǔ)就是這個(gè)意思。

　　就比如定積分的定義這個(gè)例子，你可能覺得定義復(fù)雜苦澀，但是如果你明白它就是一個(gè)一個(gè)小長(zhǎng)方形面積的極限和，既然是極限那么它肯定跟求極限也能拉上關(guān)系，不就是明顯一種思路嗎?例子呢就是給你解題的步驟和思路，怎樣解，怎樣寫參考的是例子，而且有時(shí)候一個(gè)簡(jiǎn)單的例子給你提供解題思路，讓你開眼界，之后就是課后題目了，你定義理解的如何，怎樣應(yīng)用，就在于這些題目，如果你沒有舉一反三還有記性特別好的話，盡量多練習(xí)，加深理解，一定不要懶惰哦。

　　很多人對(duì)于書本上的定理證明過程有疑問，到底有沒有必要掌握，哪一年的數(shù)二真題不就是拿拉格朗日中值定理作文章，直接證明定理。我同學(xué)有問：泰勒公式可以證明嗎?柯西中值定理呢?當(dāng)然不行了，你可以用它們?nèi)ダ斫�，但是考察的不還是書上證明嗎?從另外想，知道它的思路既可以加深理解也可以用于其他方面，比如線性代數(shù)中R(AB)M,這里x任意，存在即可，不強(qiáng)調(diào)存在方式。

　　無(wú)窮大是對(duì)任一M(無(wú)論多大)，總存在x0,當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)>M(注，這里的無(wú)窮大時(shí)x趨近正無(wú)窮時(shí)，其他同理)，這里的存在有限制。

　　從定義，再結(jié)合圖像，無(wú)窮算是無(wú)界的一種。但是無(wú)界不一定無(wú)窮

　　無(wú)界是一個(gè)區(qū)間而無(wú)窮是針對(duì)一個(gè)趨勢(shì)，舉個(gè)例子1/x,在(0,+∞)是無(wú)界而同是這個(gè)函數(shù)x趨近0是無(wú)窮而趨近無(wú)窮則是0

　　第二個(gè)例子xsinx,x趨近無(wú)窮滿足無(wú)界的定義，是無(wú)界，但不是無(wú)窮，因?yàn)闊o(wú)論怎樣取x0,x>x0總有函數(shù)等于0，也就是不存在這樣的函數(shù)。也就是說對(duì)于一個(gè)無(wú)界的區(qū)間你如果有意識(shí)的話可以挑選一些數(shù)，有一定順序組成一個(gè)新的函數(shù)的話完全可以成為無(wú)窮了。正如例子中你選π/2,5π/2,9π/2……是不是無(wú)窮?

　　這也涉及到一元函數(shù)的極限概念，考慮一下二元函數(shù)極限是x,y無(wú)論哪條路徑都可以趨近某個(gè)值，其實(shí)一元函數(shù)也有個(gè)路徑，不過這個(gè)路徑指的是在x軸無(wú)論0，2，4，6……還是1，3，5……等等都是趨近同一值，這是想通之處了。而對(duì)于某一類的無(wú)界它也不過是挑取某個(gè)路徑達(dá)到無(wú)窮。不能滿足所有路徑都是。

　　2.無(wú)窮小和零

　　無(wú)窮小是趨勢(shì)，一定條件下的趨勢(shì)，同是一個(gè)函數(shù)在不同條件下地位不同比如x趨近0時(shí)時(shí)無(wú)窮小x趨近1就是，0是無(wú)論那種情況都是趨近0，所以0是無(wú)窮小。但是無(wú)窮小和0不是等價(jià)的，這點(diǎn)把握到這里就可以了。

　　3.常見的幾種點(diǎn)

　　駐點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，不僅有定義，而且導(dǎo)數(shù)必須存在且為0

　　極值點(diǎn)：相對(duì)點(diǎn)，相對(duì)于附近某一小臨域，它是比較大〔小〕的值，這里強(qiáng)調(diào)這個(gè)臨域存在，臨域不是區(qū)間;這樣的點(diǎn)有一些性質(zhì)，若可導(dǎo)則導(dǎo)數(shù)必為0，但導(dǎo)數(shù)為0不全是極值點(diǎn)(x^3)

　　但是這不是判斷極值點(diǎn)的唯一條件，還要根據(jù)定義，這就屬于不可導(dǎo)的點(diǎn)了(|x|的0點(diǎn))，所以極值點(diǎn)穿插很多，多重考慮，別忘了必須有定義。

　　拐點(diǎn)：性質(zhì)有點(diǎn)類似極值點(diǎn)只是要求不同，它是某一臨域左右凸凹性改變，同理既要考慮二階導(dǎo)數(shù)是0還有二階導(dǎo)不存在的穿插，還要注意比較基本，有定義

　　4.可積，原函數(shù)，變限積分

　　可積指定積分存在〔注意是定積分不包括廣義積分〕，按幾何意義，曲線與x軸面積〔這里也可以說是負(fù)面積〕存在。

　　原函數(shù)是函數(shù)，不是一個(gè)值，判定是否存在原函數(shù)，對(duì)它求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)是該函數(shù)。

　　變限積分定積分下限為常數(shù)，上限是自變量，集合兩者，把x確定為一個(gè)值它就是定積分，某種意義上它可以算是某個(gè)原函數(shù)，但是這是一般情況，總體來(lái)說它還是一個(gè)函數(shù)。

　　可積不一定有原函數(shù)〔一個(gè)值存在怎么斷定一個(gè)趨近有函數(shù)呢，〕，有第一類間斷點(diǎn)是沒有原函數(shù)但是可以有定積分，可積。有原函數(shù)不一定可積〔1/x〕，它們之間關(guān)系頗為復(fù)雜，求一個(gè)定積分我們有能力的就是利用奇偶性或者間接利用原函數(shù)〔牛頓，來(lái)布尼次公式〕，一馬歸一馬，注意區(qū)別。

　　而可積和變限積分聯(lián)系挺大的，一般區(qū)間可積的話變限積分不僅存在而且連續(xù)，不深入討論。

　　原函數(shù)和變限積分是比較易混淆的，兩者都是函數(shù)，求的過程容易覺得變限積分算是原函數(shù)的其中一個(gè)，一般函數(shù)可以這么以為，不過深入討論，決不這么簡(jiǎn)單，對(duì)于存在原函數(shù)的上述結(jié)論正確，可是比較大的區(qū)別就是有第一類間斷點(diǎn)沒有原函數(shù)，但是變限積分存在且連續(xù)，圖形上理解就是有間斷點(diǎn)，不影響面積存在性而且不影響連續(xù)性，這點(diǎn)可以證明。

　　5.一元與二元函數(shù)的可微，可導(dǎo)和連續(xù)

　　一元函數(shù)和二元函數(shù)在連續(xù)，可微，可導(dǎo)雖然從書上看性質(zhì)不太一樣但這決不違背定理，兩個(gè)之間有莫大的關(guān)系。

　　一元函數(shù)和二元函數(shù)的連續(xù)都要求極限存在且等于函數(shù)值，不同就是因?yàn)椴煌�元函�?shù)因?yàn)榭臻g的分布不同決定了極限的趨近方式不同，因?yàn)橐辉�只有x是一條軸，一根線，那么教材上強(qiáng)調(diào)的更多是左右趨近，其實(shí)另一角度看，正如概念區(qū)別1來(lái)說其實(shí)方式也有很多，因?yàn)閯e看只是一條軸它卻有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，極限是要求連續(xù)取的，可是為了區(qū)別，我們有時(shí)候會(huì)跳躍取。正如數(shù)列極限中2n,2n+1,只有同時(shí)取盡才保證極限存在，而二元函數(shù)分布于一個(gè)平面這就決定了方向的無(wú)窮性了，隨意一個(gè)一元函數(shù)都可以決定一個(gè)方向y=x,y=x^2等等，作為一條曲線可以作為一條方向只要它過所確定的點(diǎn)即可，一元函數(shù)其實(shí)就是沿著(x,0)對(duì)二元函數(shù)的極限，這也就說明二元函數(shù)連續(xù)，那么在該點(diǎn)確定的一元函數(shù)也連續(xù)。舉個(gè)例子f(x,y)在0,0連續(xù)，那么f(x,0)肯定在x=0連續(xù)，一般到特殊，但是反之卻不可以，這也從一定程度說明證明二元函數(shù)不連續(xù)，可以選取不同y,x關(guān)系，極限不同則不連續(xù)。

　　可導(dǎo)，一元函數(shù)中有可導(dǎo)必連續(xù)，這是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義決定了極限只能是0/0型的極限，自變量趨近，函數(shù)必然趨近，可導(dǎo)必連續(xù)，可是二元函數(shù)卻沒有可導(dǎo)必連續(xù)，為什么呢?那是因?yàn)槎�元函�?shù)中的可導(dǎo)指的是偏導(dǎo)，偏導(dǎo)就說明是作為一元函數(shù)求導(dǎo)的，盡管它是二元的，既然作為一元函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)概念，我們自然會(huì)有連續(xù)的概念，不過這里的連續(xù)不是說二元函數(shù)連續(xù)，而是它作為一元函數(shù)連續(xù)，什么意思呢?還是上面說的f(x,y)在0,0處對(duì)x偏導(dǎo)存在，說明f(x,0)在x為0處連續(xù)而不是f(x,y)在x,y=0,0連續(xù)，因?yàn)檫B續(xù)作用的單位不是整個(gè)二元函數(shù)，而二元函數(shù)中的某個(gè)小分支是一元函數(shù)，連續(xù)只作用到一個(gè)分支上了。

　　再說可微，因?yàn)橐辉�和二元函�?shù)的可微定義是不一樣的，一元函數(shù)定義可微和導(dǎo)數(shù)關(guān)系拉的很近，Δx將它們穿在一塊，有著可微等價(jià)于可導(dǎo)的結(jié)論，這也是極限定義。而二元函數(shù)定義可微時(shí)則是將Δx,Δy同時(shí)定義在內(nèi)，無(wú)窮小也與兩者都相關(guān)，所以單從二元函數(shù)可導(dǎo)〔偏導(dǎo)〕不能得到可微，因?yàn)槠珜?dǎo)只是和某個(gè)有關(guān)，既然涉及兩個(gè)那么兩個(gè)關(guān)系沒那么大了，可微是更深層次考察函數(shù)，單從定義式我們就可以得到兩個(gè)結(jié)論，1連續(xù)(x趨近x0,y趨近y0試試)，2可導(dǎo)〔另某個(gè)Δ為0再對(duì)照定義〕

　　從分析看，其實(shí)一元和二元差別之處就在于定義不同，研究范圍不同，你如果把二元特殊為一元研究一元函數(shù)的性質(zhì)它都有了。

　　6.定積分與面積

　　可能大家對(duì)它倆關(guān)系有了明確的界定，但是我還是想說下，對(duì)不太明白的人或許有點(diǎn)用。

　　從定義看定積分是Δx與f(xi)的乘積和，可能由于定積分是從面積引出來(lái)的大家或許有錯(cuò)覺，它就是面積，但從定義來(lái)Δx我們規(guī)定若為正那么f(x)不一定全部為正，這樣也不是面積了，假如我們將面積也矢量話(注意，面積只能是正)，那么這里的定積分就是矢量面積和了，這只幫助理解。在研究定積分中會(huì)出現(xiàn)積分上下限顛倒，上面小于下邊，這就更說明定積分不是面積了，只有積分上限大于下限，f(x)>0,才是真正意義的面積，所以給你一個(gè)題目求面積可不是單純求定積分，需要你自己分段加符號(hào)。二重積分也天然不是體積，同理

　　7.定積分和二重積分

　　看上去區(qū)別很大的，從幾何意義上講，定積分是矢量面積(方便敘述用的)，二重積分是矢量體積(同理)。區(qū)別大家很容易看到，著重說聯(lián)系。二重積分的累次積分中我們就看到了它與定積分的某種聯(lián)系，兩次積分，補(bǔ)充下，如果你掌握了定積分求法，那么二重積分你還要掌握的是積分區(qū)域的劃分，保持清醒的是積分區(qū)域中x,y的關(guān)系不要應(yīng)用到f(x,y)中，兩者關(guān)系不大〔雖然我不學(xué)曲面積分，但我隱約明白去年積分區(qū)域和函數(shù)關(guān)系很大，注意區(qū)別〕在極坐標(biāo)換元中易出錯(cuò)。

　　求法決定二重積分與定積分關(guān)系，二重積分寫法有好多種，但你要明白求法是固定的∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy或∫(∫f(x,y)dy)dx,明白了嗎?就是說二重積分是定積分特殊的一種，積分函數(shù)是個(gè)特別的函數(shù)，這樣定積分常用的方法二重積分也可以用，尤其是分布積分法，不過用時(shí)注意一定要明白積分變量是哪個(gè)別混了，這效果和換積分次序差不多一樣，不過你換必須不得主觀變換上下限，這里避免主觀，可以少出錯(cuò)。這個(gè)有什么用呢，當(dāng)然是面對(duì)你積分積不出來(lái)時(shí)如e^(x^2)

　　8.二階非齊次微分方程的兩個(gè)類型(e^(rx)和sinwx+coswx)

　　注意，不多說，想說的是在求特解的時(shí)候不要弄混了，為了避免混淆，這樣理解：不論那種形式都看作f(x)e^(rx)(acoswx+bsinwx)

　　r取0看是什么，x取0看又是什么，兩個(gè)同時(shí)取零呢?

　　這樣在找特征方程解對(duì)照時(shí)注意如果實(shí)根，把虛部看做0這樣把實(shí)部和虛部同時(shí)對(duì)比兩者同時(shí)符合則同，不符合則一般

　　9.二元函數(shù)中的兩類求極值

　　第一類，不帶條件求極值，判定方法：偏導(dǎo)都為0，再根據(jù)二階偏導(dǎo)，A,B,C……判斷

　　第二類，附帶條件，注意此類求極值其實(shí)質(zhì)仍為一元函數(shù)求導(dǎo)，不過有隱函數(shù)的性質(zhì)，注意推導(dǎo)過程與第一類有很大的區(qū)別，比如偏導(dǎo)可以都不為0，做題不要混淆了。

　　10.等價(jià)，合同，相似

　　矩陣A,B等價(jià)指A經(jīng)過初等變換變換可變?yōu)锽,性質(zhì)就是秩相同，當(dāng)然沒有要求矩陣必須是n階的，可以m*n，還有就是向量組等價(jià)定義是甲向量組每個(gè)向量都可以用乙向量組向量線性表示，乙的也可以用甲的表示稱為甲乙向量組等價(jià)。兩個(gè)等價(jià)有區(qū)別有聯(lián)系。首先，研究對(duì)象不同，前者是矩陣后者是向量組。然后性質(zhì)不同，矩陣等價(jià)必須同型，都是m*n，向量組等價(jià)不一定向量個(gè)數(shù)相同，但維數(shù)相同。當(dāng)然，也有聯(lián)系，如果兩個(gè)向量組等價(jià)而且向量個(gè)數(shù)相同，由這些向量組成的矩陣等價(jià)〔秩相等〕，但是如果兩個(gè)矩陣等價(jià)，矩陣組成的列向量卻不一定等價(jià)，除非某組由另一組線性表示〔利用合并向量組極大無(wú)關(guān)組〕

　　相似和合同都是針對(duì)n階方陣而言，P^(-1)AP=B,P可逆，A,B相似

　　P^TAP=B,P可逆，那么A,B合同。

　　易知，相似，合同必等價(jià)。

　　而相似和合同聯(lián)系的核心公式則是P^(-1)=P^T，也就是實(shí)對(duì)稱正交單位化那部分，他是聯(lián)系的中心環(huán)節(jié)，所以相似不需要正交，而合同必須單位正交化了。理解下，這就是相似中為什么正交的原因，而相似必正交也來(lái)源于此。

　　容易出錯(cuò)的：

　　1.極限這一塊容易出錯(cuò)的不少，洛必達(dá)判定條件，這是低級(jí)錯(cuò)誤小心就是了，容易出錯(cuò)的是等價(jià)無(wú)窮小的代換，等價(jià)無(wú)窮小代換是有條件的，比較少明白是等價(jià)無(wú)窮小，必須極限都趨近0，然后代換的量必須是整個(gè)式子的某一個(gè)因式，作為乘除代換，例：

　　limx->0sin3x/x=3x/x

　　錯(cuò)誤的有(sinx-x)/x^3=(x-x)/x^3=0;

　　[(sin2x/x)-x]/x=(2-x)/x

　　第二個(gè)雖然某種意義是乘除，但是相對(duì)整個(gè)式子還是加減

　　錯(cuò)誤原因：如果你深知泰勒公式會(huì)明白，其實(shí)等價(jià)無(wú)窮小就是泰勒公式第一部分代換sinx=x-x^3/6……,作為一個(gè)因式有沒有后者沒關(guān)系，這點(diǎn)你可以從多項(xiàng)式求極限中看出來(lái)，次數(shù)比較小的項(xiàng)決定，一旦放入加法中就必須注意了，某一項(xiàng)是極有可能約掉了正如錯(cuò)誤例子，你帶入試試，把后者省了結(jié)果完全不同。所以加減法中要用只能是泰勒公式，因?yàn)榈葍r(jià)無(wú)窮小太簡(jiǎn)了，后來(lái)想了想，如果非要用等價(jià)代換，保證以下條件：代換后盡量分子分母不為0，而且代換出來(lái)的沒運(yùn)算前保證x次數(shù)大于分母的，當(dāng)然這有些羅嗦了，總之，要注意。

　　在等價(jià)無(wú)窮小代換中注意以上規(guī)則后，能換就換例sinx*Inx x趨近0

　　不要因?yàn)樗�在左邊不敢換，否則很麻煩的。

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