雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢?

　　例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張?

　　解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多。

　　(680-8×40)÷(8+4)=30(張)，這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張。

　　因此8分郵票有40+30=70(張)。

　　答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張。

　　也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法。

　　解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分。以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增加郵票。為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：

　　(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張)。

　　因此4分有20+10=30(張)，8分有60+10=70(張)。

　　例8 一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?

　　解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份。用上一例題解一的方法，晴天有

　　(150-8×3)÷(10+8)= 7(天)。

　　雨天是7+3=10天，總共7+10=17(天)。

　　答：這項(xiàng)工程17天完成。

　　請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題。差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個(gè)。這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系。

　　總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢?

　　例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只?

　　解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14(只)，雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍)，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍。

　　兔的只數(shù)是：(100+28÷2)÷(2+1)=38(只)。

　　雞是：100-38=62(只)。

　　答：雞62只，兔38只。

　　當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7(只)。兔的只數(shù)是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只)。

　　也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法。

　　解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50(只)。此時(shí)腳數(shù)之差是：

　　4×50-2×50=100，

　　比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了)。為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只(千萬注意，不是2)。因此要減少的兔數(shù)是：

　　(100-28)÷(4+2)=12(只)。

　　兔只數(shù)是：

　　50-12=38(只)。

　　另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”。

　　例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字;七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字。有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字。問兩種詩各多少首。

　　解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差

　　13×5×4+20=280(字)。

　　每首字?jǐn)?shù)相差：7×4-5×4=8(字)。

　　因此，七言絕句有：28÷(28-20)=35(首)。

　　五言絕句有：35+13=48(首)。

　　答：五言絕句48首，七言絕句35首。

　　解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首。字?jǐn)?shù)分別是20×23=460(字)，28×10=280(字)，五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180(字)。與題目中“少20字”相差：180+20=200(字)。

　　說明假設(shè)詩的首數(shù)少了。為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加

　　200÷8=25(首)。

　　五言絕句有

　　23+25=48(首)。

　　七言絕句有

　　10+25=35(首)。

　　在寫出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例7、例9和例10三個(gè)問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè)�，F(xiàn)在來具體做一下，把列出的計(jì)算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事。

　　例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是(680-8×40)÷(8+4)=30(張)。

　　例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是(100×4-28)÷(4+2)=62(只)。

　　例10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是(20×13+20)÷(28-20)=35(首)。

　　首先，請讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個(gè)算式只是有一處“-”成了“+”。其奧妙何在呢?當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事。

　　例11

　　有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元。結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只?

　　解：如果沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元。但破損一只要減少1+0.2=1.2(元)。因此破損只數(shù)是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只)。

　　答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶。

　　請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎?

　　例12 有兩次自然測驗(yàn)，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題，答對1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗(yàn)共答對30道題，但第一次測驗(yàn)得分比第二次測驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測驗(yàn)各得多少分?

　　解一：如果小明第一次測驗(yàn)24題全對，得5×24=120(分)。那么第二次只做對30-24=6(題)得分是：8×6-2×(15-6)=30(分)。 兩次相差：120-30=90(分)。

　　比題目中條件相差10分，多了80分。說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少。第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分。兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16(分)。(90-10)÷(6+10)=5(題)。

　　因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對：30-19=11(題)。

　　第一次得分：5×19-1×(24- 9)=90.

　　第二次得分：8×11-2×(15-11)=80.

　　答：第一次得90分，第二次得80分。

　　解二：答對30題，也就是兩次共答錯(cuò)

　　24+15-30=9(題)。

　　第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5+1=6(分)，第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8+2=10(分)。答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16(分)。

　　如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分。比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是：(6×9+10)÷(6+10)=4(題)。

　　第一次答錯(cuò) 9-4=5(題)。

　　第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分)。

　　第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分)。

　　習(xí)題二

　　1.買語文書30本，數(shù)學(xué)書24本共花83.4元。每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴0.44元。每本語文書和數(shù)學(xué)書的價(jià)格各是多少?

　　2.甲茶葉每千克132元，乙茶葉每千克96元，共買這兩種茶葉12千克。甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354元。問每種茶葉各買多少千克?

　　3.一輛卡車運(yùn)礦石，晴天每天可運(yùn)16次，雨天每天只能運(yùn)11次。一連運(yùn)了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少27次。問一連運(yùn)了多少天?

　　4.某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)共20道題，做對一題得5分，做錯(cuò)一題倒扣1分，不做得0分。小華得了76分。問小華做對了幾道題?

　　5.甲、乙二人射擊，若命中，甲得4分，乙得5分;若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10發(fā)，共命中14發(fā)。結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí)，甲比乙多10分。問甲、乙各中幾發(fā)?

　　6.甲、乙兩地相距12千米。小張從甲地到乙地，在停留半小時(shí)后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地。已知兩人同時(shí)分別從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過4小時(shí)后，他們在返回的途中相遇。如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走1.5千米，求兩人的速度。