高一數(shù)學(xué)均方差(標(biāo)準(zhǔn)差)公式
標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)，在概率統(tǒng)計(jì)中最常使用作為統(tǒng)計(jì)分布程度(statistical dispersion)上的測量。標(biāo)準(zhǔn)差定義是總體各單位標(biāo)志值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個(gè)體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種性質(zhì)：
為非負(fù)數(shù)值， 與測量資料具有相同單位。一個(gè)總量的標(biāo)準(zhǔn)差或一個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，及一個(gè)子集合樣品數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之間，有所差別。
標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算公式
假設(shè)有一組數(shù)值X1,X2,X3,......XN(皆為實(shí)數(shù))，其平均值為μ，公式如圖1.
圖1
標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，公式如圖2。
圖2
簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大;一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。
例如，兩組數(shù)的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ，但第二個(gè)集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。
標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時(shí)，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)(同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較)，則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因?yàn)槿绻麥y量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。
標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報(bào)穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報(bào)遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報(bào)較不穩(wěn)定故風(fēng)險(xiǎn)越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越小，代表回報(bào)較為穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)亦較小。
例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.078分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分(此數(shù)據(jù)是在R統(tǒng)計(jì)軟件中運(yùn)行獲得)，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。
如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號內(nèi)除以n
如是樣本，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號內(nèi)除以(n-1)
因?yàn)槲覀兇罅拷佑|的是樣本，所以普遍使用根號內(nèi)除以(n-1)
公式意義
所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個(gè)數(shù)(或個(gè)數(shù)減一，即變異數(shù))，再把所得值開根號，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。
深藍(lán)區(qū)域是距平均值小于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值之 68%。根據(jù)正態(tài)分布，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)(深藍(lán)，藍(lán))的比率合起來為 95%。根據(jù)正態(tài)分布，三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)(深藍(lán)，藍(lán)，淺藍(lán))的比率合起來為 99%。
(責(zé)任編輯：張新革)
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